الهندسة الحديثة و الفراغيه

الهندسة الحديثة

يمكن إرجاع بدايات الهندسة الحديثة إلى القرن السابع عشر الميلادي، ففي ذلك الوقت ازداد الاتصال بين علماء الرياضيات عما كان عليه في أي وقت منذ أفلاطون، وشرع الفرنسيان رينيه ديكارت وبيير دوفيرما في العمل فيما صار يعرف لاحقاً بالهندسة التحليلية. تربط الهندسة التحليلية بين الجبر والهندسة, فهي تعطي تمثيلاً لمعادلة جبرية بخط مستقيم أو منحنٍ. وتجعل من الممكن التعبير عن منحنيات عدة بمعادلات جبرية, ومثال على ذلك: فإن المعادلة 2س = ص تصف منحنى يسمى القطع المكافئ.
ولقد أوضح ديكارت مبادىء الهندسة التحليلية في كتابه الهندسة عام 1637 م، بينما كان مدخل فيرما للهندسة أقرب للهندسة التحليلية الحديثة. وبما أن فيرما لم يقم بنشر أعماله فإن معظم الناس يُرجعون الفضل إلى ديكارت في اكتشاف الهندسة التحليلية.



نهوض الهندسة اللاإقليدية:

في مطلع القرن التاسع عشر الميلادي، اكتشد كل من الألماني كارل فريدرك جاوس والمجري يانوس بولياي والروسي نيكولاي لوباتشيفسكي الهندسة اللاإقليدية كلُّ بصورة مستقلة عن الآخر. ففي محاولاتهم لإثبات مسلمة التوازي لإقليدس؛ توصُّل كل منهم لعدم إمكانية تقديم برهان لها. وقدَّم كل واحد منهم الهندسة الزائدية كأول نموذج لهندسة لاإقليدية. وكثيراً ما يُنسب فضل اكتشاف الهندسة الزائدية إلى لوباتشيفسكي نسبة لأبحاثه المنشورة وبخاصة مقالته حول أسس الهندسة (1829 م).
ولقد ظلت الهندسة اللاإقليدية خارج إطار الهندسة التقليدية حتى منتصف القرن التاسع عشر الميلادي. ففي ذلك الحين بدأ جورج فريدريك برنارد ريمان معالجة الهندسة اللاإقليدية. وفي محاضرة له عام 1854، ناقش ريمان فكرة النظر إلى الهندسة على أنها دراسة أشياء غير معينة لأي عدد من الأبعاد في أي عدد من الفضاءات. وقد جعلت نظرته للهندسة دراسة عامة للفضاءات المنحنية نظرية النسبية لأينشتاني أمراً ممكناً.

قادت الاكتشافات الرياضية في القرن التاسع عشر الميلادي إلى تطوير مداخل أخرى إلى الهندسة، منها هندسة التحويلات التي تبحث في خصائص الأشكال الهندسية التي تظل ثابتة عندما تتعرض الأشكال إلى تحويلات معيَّنة (تغيير في الموضع). ويُعني أحد ضروب هندسة التحويلات ويسمى الطوبولوجيا، بدراسة الخصائص الهندسية التي لا تتغير عند تشويه الأشكال أثناء تعرُّضها إلى عمليات الثنيْ أو المطِّ أو القولبة. وتستأثر هندسات التحويلات بحيز كبير من النشاط البحثي في الرياضيات.

الهندسة الفراغيَّة

المتوقّع من الرياضيين والمهندسين أن يتوصّلوا إلى حساب مساحات مختلف الأجسام الصلبة واحجامها. مساحة الأجسام المستوية السطوح تساوي مجموع مساحات سطوحها. أما بالنسبة للاهرام والاسطوانات والموشورات والمخروطات والمجسّمات الاهليلجية، فالمسألة أكثر تعقيداً. إلا أنه يمكن حساب مساحاتها



واحجامها باستعمال الهندسة الفراغية، أي هندسة الاشكال ذوات الأبعاد الثلاثة



لا يشمل موضع الهندسة الفراغية اشكال الأجسام والمجمّعات فقط، بل يتناول أيضاً الانفعالات والقوى غير المرئية التي تخترق تلك الأجسام. فهذه الهندسة تحدّد مثلاً الشكل الواجب اعطاؤه للسدّ كي لا يهدّمه ضغط الماء، ومقدار طفو مركب ذي شكل معيّن، ومقدار ميله إذا حُمّل بطريقة غير متوازنة. أما القوى التي هي أكثر تعقيداً من الجاذبية، فأنها تثير مشاكل حلّها أكثر صعوبة.
في المضلّع المنتظم، جميع الأضلاع والزوايا متساوية، كما في المثلّث المتساوي الاضلاع والمربّع والخمّس

برهن اقليدس على أن هنالك خمسة مجسّمات منتظمة فقط، تكون جميع سطوحها مضلّعات منتظمة متساوية: رباعي السطوح (أ)؛ المكعّب (ب)؛ المثمّن السطوح (ت)؛ ذو الاثني عشر سطحا (ث)؛ وذو العشرين سطحا (ج) . المكعّبات وحدها تتجمّع معا لملء الفراغ كلياتن.
جميع المجسّمات التي لا تحتوي على ثقوب واوجهها مسطّحة تخضع لنظرية اويلر: ق+ و= ض+ 2، حيث ق يمثّل عدد الرؤوس (القمم)، و: عدد الأوجه، ض: عدد الأضلاع. في الرباعي السطوح المثلّثية (أ) نحصل على: 4+ 4= 6+ 2. وفي المثمّن السطوح (ب) يكون معنا: 6+ 8= 12+ 2. يخضع الشكلان ت و ث للقاعدة ذاتها. هذه النظرية تثير العجب، لأنها لا تتأثر بشكل المجسّم أو حجمه